Matematikte Karar Verme Problemi I : Gödel

Matematikte Karar Verme Problemi I : Gödel

Bu çalışma matematiksel mantık alanında tutarlı ve tam bir dizge
oluşturup matematiğin tüm doğru önermelerini oluşturulan biçimsel dizgenin bir teoremi olarak, yanlış önermelerini ise dizge dışında bırakarak kesin bir karar yordamı oluşturma girişiminde bulunan Russell ve Whitead’ın çalışmasının Gödel tarafından nasıl alt üst edildiğini matematik felsefesi bağlamında incelemeyi amaçlamaktadır.


Kullandığım kavramları başta tanımlamak yerine, anlatımın akışı içinde vermeye çalıştım. Teknik detayları işin uzmanlarına bırakarak amacıma uygun olarak felsefi incelememiz açısından yararlı olabilecek noktaları vurgulamaya özen gösterdim. Anahtar önemi olan kavramların ve yöntemlerin açıklamasını ise tarihsel bir ön incelemeyle ve derin bir analiz öncesi kuş bakışı bir analizle vermeye çalıştım. Kullandığım alıntıların bir kısmı tarihsel atmosferle ilgili açıklamaları içerirken, diğerleri ve daha önemlileri yazarların konu açısından kilit önemdeki görüşlerini içermektedir. Son olarak çalışmanın bu alanda bir özgünlük iddiası olmayıp yalnızca bu konuyu çalışan uzmanların görüşlerinin fikirlerini toparlamak ve ana hatlarıyla bunun tarihsel açıdan önemini ve matematik felsefesi açısından çıkarımlarını betimlemekten daha fazlası olmadığını belirtmek isterim.


Euclides geometrisi veya klasik geometri aksiyomatik yöntemin başarılı bir örneği olarak sık sık verilmektedir ve az sayıda temel aksiyomla bir çok teoremin bu az sayıdaki aksiyoma dayanarak türetilmesi başarısının kaynağı olarak gösterilmiştir. Ancak bu geometri aksiyomatik bir dizge olmasına karşın biçimsel bir dizge olarak görülmemiş ve bin yıllarca bu geometrinin önermelerinin uzay hakkındaki temel doğruluklar olduğu düşünülmüştür. Yani Euclides geometrisi içeriksiz, biçimsel değildi. Bir içeriği, dış dünya hakkında bir bildirimi vardı. Buna rağmen aksiyomatik yöntem ekonomikti ve eğer dış dünya hakkında yanlış bir bildirimi aksiyomlarından türetiyorsak doğaya başvurup ya ilgili teoremi ya da aksiyomu değiştirebilme olanağı vardı.


Geometrinin teoremlerini bir fabrika gibi üreten aksiyomatik yöntem her dönem ilgi görmüş ve dönemin düşünürleri tarafından da bilimsel bilgi üretmenin en iyi yolu olarak görülmüştür. Geometride yakalanan bu başarı diğer bilim dallarında çalışan bilim insanlarının kendi alanları için de aksiyomatik yöntemin kullanıp kullanılamayacağı sorusunu gündeme getirmiştir.

Ancak bu çabalara rağmen on dokuzuncu yüzyıla kadar geçen zamandaki çabaların sonucunu Nagel ve Newman şu sözlerle özetliyor:

Bununla beraber, her ne kadar antik çağda fiziğin bazı kısımlarının aksiyomatik formülasyonu yapılmışsa da (Örneğin, Archimedes tarafından) modern çağa kadar geometri, birçok insanın sağlam aksiyomatik temeller üzerine kurulmuş olduğunu düşündüğü tek matematik dalı olarak kaldı. (Nagel ve Newman, 2010, s. 36)

Yine Nagel ve Newman son iki yüz yıl içinde aksiyomatik yöntemin giderek ilgi gördüğünü ve matematiğin yeni dallarının yanında, eski dallarının da örneğin sayma sayılarının özellikleri hakkındaki çalışmaların sağlam aksiyom kümeleri olarak kurulduğunu ve enin de sonunda matematiksel düşüncenin her dalının aksiyomatik yöntemle inşa edilebileceği kanısının matematikçiler arasında ortak bir kanı olduğunu da ekliyor.

Ancak Gödel bu çalışmaların yani tüm matematiği formal bir çerçeveye sıkıştıran, her şeyi Penrose’un deyişiyle kör hesaba indirgeyen yaklaşımın savunulamaz olduğunu göstermiştir. Matematikte aksiyomatikleştirilemeyen matematiksel doğruluklar vardır ve aritmetiği de kapsayan geniş bir biçimsel dizge hem tutarlı hem de eksiksiz olamaz. Gödel’in çalışmasının özü budur ve hem matematiğin temelleri hakkında formalist programdan beklentileri olanların hayallarini yıkmış hem de bilgisayar bilimleri , enformasyon teorisi gibi diğer alanlarda çalışan bilim insanlarına kendi çalışmaları için önemli bir ilham kaynağı olmuştur. 

Sadece üzerinde çalıştığı PM’(Principia Mathematica)nin değil Pm benzeri diğer biçimsel dizgelerin de iç mantıksal tutarlılığını oluşturmak için doğal engeller—dizgenin inşa ediliş biçiminden kaynaklanan engeller— bulunduğunu ve bu tip biçimsel programların eksiksiz olamayacağını, eksiksiz olsa da aynı anda tutarlı olamayacağını göstermiştir. Bu ise matematiği bir boş imler dizgesi olarak gören birçokları için matematiği farklı yaklaşımlarla inceleme fırsatını doğurmuştur.

Bu sonuçlar ışığında diyebiliriz ki, matematiği mantıksal bir yaklaşımla üretmeyi deneyen formalist program Gödel’in çalışmasıyla birlikte yerini tutarlı ancak bütüncül olma iddiası bulunmayan yeni yaklaşımlara bırakmak zorunda kalmıştır çünkü Gödel matematiğin nihai dizgeleştirilmesinin hiçbir zaman tamamlanamayacağını ve ister ad hoc aksiyomlarla isterse yeni bir aksiyom kümesiyle çalışılsın sonucun aynı olacağını göstermiştir.Gödel’in çalışmasına, bu çalışmanın tarihsel önemine değinmeden önce o tarihe kadarki atmosferi betimlememiz yerinde olacaktır.

On dokuzuncu yüzyıl matematik açısından önemli olduğunu bu tarihten sonra matematik çalışmalarının ivme kazandığını
söylemiştik. Bu gelişmelerin bazılarını Nagel ve Newman şu sözlerle aktarmaktadır:

Özellikle Gauss, Bolyai, Lobatchevsky ve Riemann’ın çalışmaları sayesinde, paralel aksiyomu diğer aksiyomlardan çıkarımlamanın olanaksız olduğunun gösterilmesi, on dokuncu yüzyıla kadar başarılabilmiş değildi. Bu sonuç çok aydınlatıcı bir öneme sahiptir. Öncelikle, belli bir dizge içindeki bazı önermelerin kanıtlanabilmesinin olanaksız olduğunun da kanıtlanabileceğine çarpıcı bir biçimde dikkatleri çekmişti. İleride göreceğiniz gibi, Gödel’in makalesi de sayılar kuramında bazı önemli önermelerinin kanıtlanabilmelerinin olanaksız olduğu üzerinedir.

Ayrıca, paralel aksiyomu sorunun çözümlenmesi, Euclides geometrisinin, geometri konusunda söylenebilecek en son söz olmadığının anlaşılmasını sağladı. Çünkü, Euclides’in aksiyomlarından farklı ve onlarla bağdaşmaz aksiyomlarla yeni geometri dizgelerinin kurulabileceği ortaya çıktı.
Geometri aksiyomlarının (veya herhangi bir disiplinin aksiyomlarının) aşikar biçimde kendinden-apaçık olmaları sayesinde ortaya konduklarına dair geleneksel inanç köklü bir biçimde sarsılmıştır.Ayrıca arı matematikçinin asıl işlevinin aksiyomlaştırılmış varsayımlardan teoremleri türetmek olduğu ve aksiyomların gerçekten doğru olup olmadığına karar vermenin matematikçinin işi olmadığı, giderek daha açık bir biçimde anlaşıldı. Sonuçta, geleneksel geometrideki başarılı gelişmeler, diğer matematik dizgelerinin de aksiyomatik temellerinin gözden geçirilmesini ve tamamlanmasını özendirdi.                                          

(Nagel ve Newman, 2010, s. 40)

Geometrideki bu yıkıcı sonuç matematikçileri daha dikkatli ve titiz olmaya ve dış dünya hakkında bildirimi olabilecek matematiksel önermelerden sakınmaya yöneltmiştir. Artık matematik doğayı betimleyen bir araç olarak değil ancak anlamdan arınmış ve kendisiyle baş başa bırakılmış zihinsel bir mimari, soyut bir tasarım olarak görülmeye başlanmıştır.

Gerçekten de, bir matematiksel çıkarımın geçerliliğinin, aksiyomlarda geçen terimlerin veya ifadelerin özel anlamlarıyla hiçbir ilişkisinin olmadığı anlaşıldı. Böylece matematiğin geleneksel olarak sanılandan çok daha soyut ve biçimsel olduğu anlaşıldı. Arı matematikçinin karşısındaki asıl sorunun (matematiği kendi alanlarında kullanan bilim adamlarından farklı olarak) varsaydığı aksiyomların veya onlardan çıkarımladığı sonuçların doğru olup olmadığına karar vermek değil, fakat çıkarımladığı öne sürülen sonuçların başlangıçtaki varsayımların zorunlu mantıksal sonuçları olup olmadığını incelemek olduğunu bir kez daha yineliyoruz.    (Nagel ve Newman, 2010, s. 42)

Bu tarihlerde artık “biçimselleştirme” matematik açısından ilgi odağı olmaya başlamıştır ve bunun önemli sonuçları olmuştur. Öncelikle matematik sezgisel boyutunu kaybetmeye, sağduyuyla olan bağlarını koparmaya başlamıştır, daha önemli olan sonuç ise tutarlılık ve tamlık kaygısının yeni yaklaşımla birlikte varlığını açıktan açığa göstermeye başlamasıdır.

Bir aksiyom kümesinin kendi içindeki tutarlılığı kümenin içindeki herhangi bir önermenin kendisinin ve değilinin aynı anda aksiyomatik olarak dizgenin bir teoremi olarak türetilememesi demektir. Yani aksiyomlar tüm önermeleri dizgenin teoremi olarak türetememelidir. Dizgenin teoremi olan ve olmayan önermeler olmalıdır.

Euclides-dışı geometriler ve bunların Euclides geometrisi arasındaki mantıksal ilişkiyi Nagel ve Newman şu sözlerle 
göstermiştir:

Riemann geometrisinin tutarlılık kanıtının verilmesinde Euclides geometrisinin tutarlılığına başvurulmuştur. Öyleyse buradan çıkan tek sonuç şudur: Riemann geometrisi tutarlıdır ancak Euclides geometrisi tutarlıysa. Böylece Euclides’in yetkesi onun tek geçerli dizge olmasını tehdit eden bir başka dizgenin tutarlılığın gösterilmesinde yardıma çağrılmıştır. Kaçınılmaz soru ise şudur: Euclides dizgesinin aksiyomları kendi içlerinde tutarlı mıdır ?

Daha önce de değindiğimiz gibi, uzun bir gelenek boyunca bu soruya kutsal bir yanıt vardı, o da, Euclides’in aksiyomlarının doğru ve dolayısıyla da tutarlı olduklarıydı. Bu yanıta artık kabul edilebilir gözüyle bakılmıyor.  (Nagel ve Newman, 2010, s. 46)

Euclides geometrisi gibi güvendikleri bir aksiyomatik dizgenin dahi tutarlı olmadığını gören matematikçiler farklı temellerle yeni bir tutarlı dizge inşa etmek için kollarını sıvadılar. Öncelikle yapmamaları gereken şeyi az çok biliyorlardı; dizge içeriğe ve anlama sahip olmamalıydı ki bunun yanlış ve gereksiz olduğu anlaşılmıştı. 

Daha sonra ise sayıları ve matematiği kümeler ve onların aralarındaki ilişkiler olarak görmeyi denediler. Ancak sezgisel kanallarla bunun doğru olduğuna ve tutarlı bir dizge inşa etmek için iyi bir yol olduğuna inanan matematikçiler kümeler kuramında ortaya çıkan paradokslarla bir defa daha bozguna uğramıştır. Bertrand Russell’ın kümelerle ilgi paradoksu şu şekildedir:

Kümeler iki çeşide ayrılabilir: Kendisi de kendi oluşturduğu kümenin üyesi olan kümeler ve kendi kümesinin üyesi olmayan kümeler. Bir küme, eğer kendi kendisinin üyesi değilse bu kümeye ‘normal küme’, eğer kendisinin üyesi ise ‘normal dışı küme’ adı verilecek. 
Normal kümeye örnek olarak matematikçiler kümesi verilebilir, çünkü matematikçiler kümesinin kendisi bir matematikçi değildir, dolayısıyla kendi kendisinin bir üyesi değildir. 

Normal-dışı kümeye örnek olarak tüm düşünülebilir şeylerin kümesi verilebilir, çünkü bu kümenin kendisi de düşünülebilir bir şeydir, dolayısıyla kendi kendisinin bir üyesidir. ‘N’ tanım olarak tüm normal kümeleri temsil etsin. Şimdi N’nin kendisi de acaba normal bir küme midir diye soruyoruz.

Eğer N normal ise, kendi kendisinin bir üyesidir (çünkü N tanımca tüm normal kümeleri kapsamaktadır) ancak bu durumda, N normal-dışı bir kümedir, çünkü kendi kendisinin üyesi olan bir küme tanımca normal-dışı bir kümedir.

Özetle, N’nin normal olması ancak N normal-dışı olduğunda söz konusudur. Buradan da çıkan sonuç, ‘N normaldir’ önermesinin hem doğru hem de yanlış olduğudur. (Nagel ve Newman, 2010, s. 51)

Nagel ve Newman’a göre bu kaçınılmaz çelişki görünüşte açık seçik bir kavram olduğu sanılan küme kavramının tartışılmadan kullanılmasının bir sonucu olmuştur. Böylelikle matematikçiler, tutarlı dizgelerin geliştirilmesinde aşinalık ve sezgisel açıklığın çürük dayanaklar olduğunu idrak etmiş oldular. Matematiği eski yollarla kurma girişimlerinin başarısızlığa uğraması matematiğin biçimsel bir yapı olarak ele alma fikrini artık matematikçiler tarafından açık bir hedef haline gelmiştir.

Matematiğin tüm doğru önermelerini aksiyomatik bir yöntemle kurulan “biçimsel” dizgenin bir teoremi olarak türetecek ve yanlış olan tüm önermelerini de dizgenin dışında bırakacak ‘mutlak’ bir kanıtlama girişimi bahsedilen yollarla elde edilememiş ve Hilbert’in yaklaşımı değerlendirilmeye başlanmıştır.

Hilbert mutlak kanıtlamayı sağlamak için Euclides geometrisi ve onun Riemann geometrisiyle olan mantıksal ilişkisindeki gibi bir dizgenin tutarlılığını kanıtlamak için diğer bir dizgeye ihtiyaç olmadığını savunmaktadır. Hilbert’e göre sorun hala matematikten atılamamış içerik ve anlamın dizgeyi tehdit etmesidir. Sorunu çözmenin ilk adımı tümdengelimli dizgenin tam bir biçimselleştirilmesi ve dizgede geçen tamdeyimlerin (formula) anlamlarından tümüyle arındırılması ve içi boş imler olarak görülmesidir.

Dizgenin biçimselleştirilmesinin en önemli avantajı, matematik önermeler arasındaki ilişkilerin artık anlamsal karışıklık içermediği ve yalnızca tek bir yorumu bulunduğu için birbiriyle bağlantılarının ve nasıl bağlandıklarının daha açık bir biçimde görülmesidir. Daha önce bahsedilen matematiğin soyut bir tasarım olarak inşa edilmesi fikri Hilbert’in yaklaşımıyla somutlaşmıştır. Artık matematik anlam içermeyen, dış dünya hakkında hiçbir fikir öne sürmeyen kapalı bir mimaridir.

Elbette matematiğin biçimsel bir şekilde organize edilmesi dizgenin içindeki önermeler hakkında konuşmamızı engellemez. Dizgenin içinde olup bitenle ilgili fikirler öne sürebilir, onları belirli bir bağlamda yorumlayabilir veya içeriksiz dizge hakkındaki önemli bilgileri bu dizge-dışı yorumlar sayesinde iletebiliriz. Ancak bu dizge-dışı yorumlar ve açıklamalar dizgenin içinde hiçbir fonksiyona karşılık gelmez, bunlar Hilbert’in üst-matematik dediği dile ait önermelerdir.

Nagel ve Newman üst-matematiksel önermelerin biçimsel dizgeyle olan ilişkilerini şu şekilde betimliyorlar:

Üst-matematiksel önermeler, biçimselleştirilmiş bir dizgede geçen imler hakkındaki önermelerdir; yani bu imlerin türleri ve “tamdeyim” (forformula) adı verilen daha uzun ‘zincirler’ biçiminde bir araya gelişleri hakkında veya belirlenen kuralların sonucunda elde edilen tamdeyimlerin birbirleriyle ilişkileri hakkındaki önermelerdir.

Şu deyimi ele alalım:


2 + 3 = 5

Bu deyim matematiğe (aritmetiğe) aittir ve tümüyle temel aritmetiksel imlerden oluşturulmuştur. Öte yandan,

“2 + 3 = 5” bir aritmetik tamdeyimidir.

Önermesi, işaret edilen deyim hakkında bir şeyler öne sürmektedir. Bu önerme bir aritmetiksel olgu ifade etmemektedir ve aritmetiğin biçimsel diline ait değildir; üst-matematiğe aittir, çünkü aritmetiğin tamdeyim biçimindeki belli bir zincirini nitelendirmektedir. (Nagel ve Newman, 2010, s. 55)

Hilbert’in matematiğin temellerine ve nasıl bir organizasyona sahip olduğuyla ilgili ortaya koyduğu en önemli katkı matematik üst-matematik ayrımıdır. Çünkü bu ayrım sayesinde biçimsel dizge içinde organize edilmeye çalışılan matematiği tehdit eden paradokslardan ve karışıklıklardan kurtarmayı amaçlamış ve matematiksel akıl yürütmenin mantıksal yapısını açıklığa kavuşturmuştur.

Hilbert sorunun özünü görmüştü; tutarlılığın ‘mutlak’ kanıtlaması girişimini bir biçimsel dizgeyle onun betimi arasındaki ayrıma dayandırdı. Hilbert, belirli aksiyom kümelerinin tutarlılığını oluşturmakta kullanılan sonlu model yönteminin yol açtığı mantıksal kuşkuların çok ötesinde bir yöntem geliştirmeyi amaçladı; bu yöntem tam biçimselleştirilmiş bir dizgenin sonlu sayıda ifadelerinin yapısal özelliklerinin bir çözümlemesiydi. (Nagel ve Newman, 2010, s. 58)

Sonsuz sayıda teoremi sonlu sayıda aksiyoma sıkıştırmaktan öte, Hilbert’in çözümü bu sonlu sayıdaki aksiyomun yapısını analiz etmek ve onları biçimselleştirerek dizgeyi yapısal anlamda reforme etmekti.

Yapısal çözümlemeyle birlikte ilgili herhangi bir tamdeyim yalnızca belirlenmiş işlem kurallarının kullanımıyla türetilebilecektir. Hilbert programını gerçekleştirme amacı, tutarlılığın gösterilmesi, tam deyimlerin sonsuz sayıda yapısal özelliklerine ve tamdeyimlerle yapılabilecek sonsuz sayıdaki işleme başvurulmadan, yalnızca böyle bir işleyiş içinde yapılmasına bağlıydı.

Bu işleyişler ‘sonlayıcı’ olarak adlandırılırlar ve bu gerekliliği sağlayan tutarlılık kanıtlamasına ‘mutlak’ adı verilir. Sayılar kuramının biçimselleştirilmiş bir uyarlamasının mutlak kanıtlanması, eğer böyle bir kanıtlama inşa edilebilirse, “0 = 0” ve onun biçimsel değillemesi “ ~(0 = 0)” gibi iki çelişik önermenin çıkarım kurallarıyla aksiyomlardan türetilemeyeceğini sonlayıcı üst-matematiksel yöntemlerle gösterebilecektir. (Nagel ve Newman, 2010, s. 59)

On dokuzuncu yüzyıla tekrar geri dönüp Gödel’i yaratan faktörlere son bir kez daha bakalım ve daha sonra birlikte Gödel’in çalışmasının özünü anlamaya çalışalım. On dokuzuncu yüzyıl yalnızca matematikte değil mantıkta da büyük gelişmelerin olduğu bir dönemdi. Aristoteles’ten beri pek fazla değişmeyen, değiştirilmeyen biçimsel mantığın yetersizlikleri anlaşılmaya başlanmıştı ve mantığın yeni baştan dirilişini sağlayan ilk adım George Bool tarafından Mantığın Matematiksel Çözümlemesi adlı eseriyle atılmıştı.

Bool ve onu izleyenlerin temel hedefi tüm tümdengelim türlerini kapsayacak bir mantık cebiri geliştirmekti. Böylece mantık sayısallaşacak ve matematik te mantıksal bir yapı içerisinden türetilebilecekti. Bu mantığın ve matematiğin birbirine yaklaşması anlamına geliyordu. Artık Aristoteles’in kurduğu mantıktan eser kalmayacaktı, mantık simgelerin tanımı ve uygun dönüşüm kurallarıyla türetilebilen anlamdan arınmış ve çoklu yoruma kapalı bir yapıya bürünecekti.

On dokuzuncu yüzyıl matematikçilerinin matematiksel analizin temellerine ilişkin çalışmalarıyla çok yakından bağıntılı diğer bir araştırma alanı, Bool’un programıyla yakın bir ilişki içindeydi. Bu yeni gelişme arı matematiğin biçimsel mantığın bir bölümü olduğunu ortaya koymayı amaçlıyordu ve Whitehead’le Russell’ın 1940’da yayımlanan Principia Mathematica’sıyla somutlaştı. (Nagel ve Newman, 2010, s. 63-64)

Whitehead’le Russell’ın çalışmasının temel fonksiyonu ve önemini açıklamayı Nagel ve Newman’a bırakıyorum.

Russell’ın göstermeye çalıştığı, tüm sayı-kuramsal kavramların arı mantıksal fikirlerle tanımlanabileceği idi; böylece sayılar kuramının aksiyomları, tamamı arı mantıksal doğruluklar olarak onaylanan az sayıda temel önermeden çıkarımlanmış olacaklardı. Böylece Principia Mathematica, matematiksel dizgelerin ve özelde sayı kuramının tutarlılık sorununu, biçimsel mantığın tutarlılık sorununa indirgeyerek soruna nihai bir çözüm bulunduğu savıyla ortaya çıktı: çünkü eğer sayılar kuramının aksiyomları, mantık teoremlerinin basit bir çevriminden ibaret ise, aksiyomların tutarlı olup olmadıkları sorusu, mantığın temel aksiyomlarının tutarlı olup olmadıkları sorusuyla eşdeğerdir.

Principia Mathematica, tüm arı matematiksel önermelerin kabul edilebilir bir biçimde bir araya toplanmasına olanak veren oldukça anlaşılır bir simgeleştirme sağladı. Ayrıca matematiksel kanıtlamada kullanılan birçok biçimsel çıkarım kuralını belirtik kıldı. Sonuç olarak Principia Mathematica tüm sayılar kuramı dizgesini soyutlanmamış bir simgeler dizisi olarak araştırabilmenin asıl aracını yaratmış oldu. (Nagel ve Newman, 2010, s. 66)

Principia Mathematica gibi bir eserin yazılış amacı ve daha genel olarak çeşitli matematik dallarının aksiyomatikleştirilmesinin amacı bir araştırma alanındaki tüm doğru önermeleri bir temel varsayımlar kümesinden çıkarma arzusudur. Aksiyomatik yöntem aslında daha da temel bir arzunun bir dışavurumudur; bilgiyi sıkıştırma ve artıklıkları temizleyerek, tekrar eden (yinelgen) bir kalıp bulma ve sonsuz veya çok büyük sayıda sonlu bir veri kümesini bu araç yardımıyla açıklama ve denetleme arzusunun. İlgili bilim dalı farklılık gösterebilir ancak bu temel arayış hepsinde ortaktır.

 Principia Mathematica, matematiksel mantık için bu arzuyu dindirecek ve artık sonsuza kadar geçerli olacak bir tutarlılık kanıtlaması girişiminin ürünüdür. Ancak bunun mümkün olmadığını gerçekte PM’yi oluşturan aksiyomların tam olmadığını Gödel göstermiştir.

Russell ve Whitead kümeler paradoksunun yarattığı şoktan sonra yeni önlemler aldılar. Önceleri kendi kümesinin üyesi olan kümeler dizge içinde kabul edilirken artık bunlara izin verilememektedir ve tüm yapıyı korumak uğruna kümeler kuramının kapsamı daraltılmıştır. Belki birkaç hücreyle veya dokuyla ödenen bu diyetin ise yeterli olmadığı, gerçekte PM’nin içine yayılan bir kanserle boğuştuğu 1931’de Gödel tarafından gösterilmiştir.

Şimdi artık Gödel’in çalışmasına geçebiliriz. Öncelikle çalışmasında kullandığı araçları göstereceğiz ve daha sonra da bu çalışmanın sonuçlarını analiz edeceğiz.

Eşleme (haritalama) fikri Gödel’in kendi çalışmasını oluşturmasında kritik bir öneme sahiptir. Hilbert matematiğin aksiyomatikleştirilmesindeki asıl sorunun biçimselliğin yeterince sağlananamış olduğunu bu yüzden de aksiyomatikleştirmeye çalıştığımız dizgenin paradoksların saldırısına uğradığını ileri sürmüştü. Sorun matematiksel önermelerle bu matematiksel önermeler hakkındaki önermelerin birbirinden ayrılamamasıdır.

Gödel de bu sorunu ise matematiksel önermelerle üst-matematiksel önermeleri birbirinden ayırmak için eşleme fikrini kullanmıştır. Çünkü eğer üst-matematiksel önermeler, matematiksel önermelerin bulunduğu dizge içinde kodlanırsa (bu dizgenin içine haritalanırsa) sorun yaratabilecek karışıklıkları görmek de kolay olacaktır. Yani yapılan şey iki ayrı dili tek bir dizgede ifade etmek ve sorunu görebilmek için daha açık bir alan yaratmaktan ibarettir.

Eşlemenin çalışmamızdaki işlevinin etkili bir açıklaması için Nagel ve Newman’a başvuruyoruz.

Eşlemenin [haritalamanın] temel özelliği, bir “nesneler” alanının içindeki bağıntıların soyut yapısının, başka bir “nesneler” (genellikle ilk kümedekinden farklı türden nesneler) alanının arasında da sağlandığının gösterilebilir olmasıdır. (Nagel ve Newman, 2010, s. 81)

Ancak bu temsil yöntemi sorunu çözmemiş ve nihayetinde Gödel’e ününü getiren çalışmaya yol açmıştır. Aritmetiksel tamdeyimleri üst-matematiksel önermelerle eşlemenin sonucu beklendiği gibi olmamıştır. Herhangi bir üst-matematiksel önermeyi dizge içinde ifade etme esnekliği dizgenin sonunu getirmiştir çünkü böylelikle eskiden beri bilinen Epimenides’in yalancı paradoksunu temsil eden bir önerme de dizge içinde kodlanabilmektedir. Böyle bir önermeyi dizge içine yerleştirmekse yüksek güvenlikli bir bölgenin saldırıyı dışarıdan değil, kendi içinden almasına benzer, düşman içeridedir.

Bunun sonucunda “bu önerme yanlıştır” veya “bu önerme PM içinde kanıtlanabilir değildir” gibi üst-matematiksel önermelerin biçimsel çevirisinin dizge içinde kalınarak kanıtlanamayacağı ve eğer “tamlık” ve “tutarlılık” kaygısıyla hareket ediyorsak, biçimsel dizgenin hiçbir zaman bu iki niteliğe aynı anda sahip olamayacağı Gödel’in çalışması sayesinde anlaşılmıştır.

Şimdi Gödel’in çalışmasının özünü oluşturan bölüme odaklanacak ve teknik ayrıntıları işin uzmanlarına bırakarak, bu çalışmanın matematik felsefesi açısından sonuçlarını inceleyeceğiz.

Aritmetiğin tüm doğru önermelerini sonlu bir aksiyom kümesinden biçimsel olarak çıkarımlama girişimi, sonsuz bir bahçenin etrafına çit çekmeye benzer. Biçimsel bir dizgeyle bunu yapmak ise ağaçları göz ardı etmeyi ve yerine ağaç yerine koyulabilecek ve ağacı anımsatmayacak herhangi bir temsil aracını kullanarak bu temsiller arasındaki ilişkiyi çitler yardımıyla belirlemeye benzer.

Gödel ise çitlerin ötesinde de ağaçlar olduğunu ancak aksiyomatik bir biçimde bahçenin içinden çıkarılamayacağını göstermiştir.

O, ilkin her tamdeyime, ime ve her kanıtlamaya bir sayı vererek, onları biçimsel dizge içinde etiketlemiş —Bu sayılaştırmaya şimdileri “Gödel sayılaştırması” deniyor— daha sonra ise bu etiketlerin bir anlamı olduklarını, yalnızca içi boş imler olmadıklarını göstermiştir.

Gödel her tamdeyime, kanıtlamaya ve ime bir sayı (sayı dizisi değil) vererek onları PM içinde ifade etmeye çalışmış daha sonra ise bu tamdeyimler alışılmış anlamlarıyla ele alındığında biçimsel olarak görülemeyecek bazı karakterleri koruduğunu göstermiştir. Kullanılan simgelerin, örneğin “~(0 = 0)” önermesinde kullanılan tilde simgesinin başka bir yorum yerine değil yorumunu hak etmesi yalnızca aşinalık ile ilgili değil aynı zamanda Gödel’in eserindeki 5.önermeyle güvence altına alınmış matematiksel bir olgudur.

Bir sayının veya operatörün anlamı onun PM içindeki davranışıyla belirlenir. Gödel, kullandığı sayılaştırma yöntemi sayesinde biçimsel dizgeyi aritmetikleştirmiş ve çalışmasının birinci adımını bu şekilde gerçekleştirmiştir.

 İkinci aşama ise daha da önemlidir ve üst-matematiksel önermelerin aritmetikleştirilmesini ve PM içine haritalanmasını sağlamıştır. Üst matematiğin nasıl aritmetikleştirildiği ve PM içine nasıl haritalandığını Nagel ve Newman şu sözlerle özetler:

Bu yöntemin altında yatan fikir şudur: PM’deki her deyime belirli bir sayı (Gödel sayısı) karşılık geldiğinden, biçimsel deyimler hakkındaki ve onların birbirleriyle olan tipografik bağıntıları hakkındaki üst-matematiksel önermelerin, onlara karşılık gelen sayılar (Gödel sayısı) hakkındaki ve bu sayıların birbiriyle olan aritmetiksel bağıntıları hakkındaki önermeler olduğu ileri sürülebilir. Bu yolla üst-matematik tümüyle “aritmetikleştirilmiş” olacaktır.

Uzun simge zincirlerinin tipografik özellikleri kendileri hakkında dolaylı yoldan, ama büyük tamsayıların asal çarpanlarının özellikleri yoluyla son derece sağlam bir şekilde söz edebilirler. İşte bu tam da “üst-matematiğin aritmetikleştirilmesi” ifadesiyle kastettiğimiz şeydir. Bu fikri, aritmetiğin (sayılar kuramının) PM içindeki biçimselleştirilmesiyle bir araya getirdiğimizde, üst-matematiğin PM içindeki biçimselleştirilmesi fikrine de ulaşmış oluruz.         (Nagel ve Newman, 2010, s. 92-96)

İlk önce bir biçimsel dizge olan PM’nin önermelerini bir Gödel sayısıyla kodlamış ve aritmetikleştirmiş, daha sonra ise üst-matematiksel önermeleri aritmetikleştirerek PM içinde ifade etmeyi başarmıştır. Şimdi geriye kalan son adım kendisinin PM içinde kanıtlanamaz olduğunu ileri süren bir üst-matematiksel önermeye bir g sayısı vermek ve onu biçimsel dizge içerisine yerleştirmektir.

Gödel’in uslamlamasında, G tamdeyimine bir g sayısı (yani onun Gödel sayısı) karşılık gelmektedir ve bu tamdeyim ‘g sayısına karşılık gelen tam deyim kanıtlanabilir değildir’ e karşılık gelecek şekilde inşa edilmiştir. (Nagel ve Newman, 2010, s. 103)

Bu ise G’nin yalnızca ve yalnızca onun biçimsel değillmesi olan ~G kanıtlanabilir ise, kanıtlanabileceğini gösterir. Ancak bir tamdeyimin hem kendisi, hem de onun değillemesi biçimsel olarak kanıtlanabilir ise PM tutarlı değildir. Eğer PM tutarlı ise sorun başka yerdedir ve bu sonuç ne G’nin ne de ~G’nin PM’nin aksiyomlarından biçimsel olarak türetilemeyeceğini göstermiştir. Dolayısıyla PM tutarlıysa G biçimsel olarak karar verilemeyen bir tamdeyimdir.

Önemli sonuç doğru olduğunu bildiğimiz bir tamdeyimin aksiyomatik bir yöntemle elde edilememesidir. G’nin doğru olduğu aşikardır ancak PM içerisinde bunun doğru olduğu gösterilemez, yalnızca üst-matematiksel işlemlerle gösterilebilir.

İlgili tamdeyime neden olan aksiyomun çıkarılması da sonucu değiştirmemektedir. Yeni aksiyom kümesi içinde de aynı yöntem kullanılarak biçimsel olarak karar verilemeyen en az bir önerme bulunacaktır yani PM özsel olarak eksiklidir.

Bu sonucun PM’de ortaya çıkması özel bir durum değildir çünkü buna benzer kurulmuş dizgeler için de aynı tehdit geçerlidir. PM ve benzeri dizgelerin tamamlanamamasının nedeni tutarlılığı, kendisinin oluşturduğu bir biçimsel akıl yürütme dizgesi içerisinde yansıtılabilecek şekildeki bir mantıksal akıl yürütme zinciriyle ortaya koymaya çalışmasıdır. Tutarlılığın ‘mutlak’ kanıtlaması ne kümeler kuramıyla, ne tipler yaklaşımıyla ne de matematik-üst matematik ayrımıyla mümkün değildir.

Sonuç ve Tartışma


Gödel’in çalışmasının matematiğin temelleriyle ilgili soruyu yanıtlama girişimine önemli katkıları olmuştur. Aritmetiğin tüm doğru önermelerini PM’nin bir teoremi olarak simgesel mantıktan biçimsel olarak türetme arayışı içine giren formalist program başarısız olmuştur. PM gibi tutarlılığın sonlu mutlak bir kanıtlamasını vermeye çalışan bir çalışmanın dizge içinde kalarak türetemeyeceği aritmetiksel doğruluklar olduğu gösterilerek matematiksel kanıtlama süreciyle anladığımız şeyin, biçimselleştirilmiş aksiyomatik bir yöntemle tam olarak çakışmadığı anlaşılmıştır.

Elbette tutarlılığın mutlak kanıtlaması verme girişimi, dizgenin kapsamıyla ilgili bir sorundur. Önermeler mantığı, tutarlılığın mutlak bir kanıtlamasını vermektedir ve beklentilerini düşük tutan mantıkçılar için de hala bir gurur kaynağıdır ancak o Gödel’in üzerinde çalıştığı PM gibi aritmetiği de içeren çok geniş bir tümdengelimli biçimsel dizge değildir. Gödel PM gibi tutarlılığın mutlak kanıtlamasını verme vaadinde olan biçimsel bir dizge için bunun mümkün olmadığını kanıtlamıştır ancak bu PM içinde yansıtılamayan tam sonlu kanıtlamaları dışlamaz. Yine de bugüne kadar hiç kimse böyle bir şeyi başarmak bir yana bunun nasıl olabileceği hakkında bir fikre sahip dahi gözükmüyor.

Gödel’in çalışmasının felsefi sonuçları hakkında Nagel ve Newman şunları söylüyor:

Gödel’in kendi uslamlamasının gösterdiği gibi, matematikçilerin yeni kanıtlama kuralları konusundaki yaratıcılıklarına önceden hiçbir sınır getirilemez. Sonuç olarak, geçerli matematiksel kanıtlamaların kesin mantıksal biçimi hakkında son söz söylenemez. (Nagel ve Newman, 2010, s. 115)

Ve yine biçimsel olarak kanıtlanamayacak aritmetiksel doğrulukların bulunmasının, sonsuza kadar bilinmeden kalacak doğruluklar olacağı beklentisi içine girmemize neden olacak mistik yaklaşımların anlamsız olduğunu da ekliyor. Yazarlara göre bu çalışmadan kendi payımıza çıkarmamız gereken yegane anlamlı sonuç insan zihninin tüm dayanaklarının tümüyle biçimselleştirilemediği, biçimselleştirilemeyeceği ve her zaman yeni kanıtlama ilkelerinin icadının beklenmesi gerektiğidir.

Belli bir aksiyom kümesinden biçimsel çıkarımla ortaya konamayacak matematiksel önermelerin, yine de biçimsel olmayan üst-matematiksel uslamlamayla ortaya konulabilmesi onlara göre bu biçimsel olarak ortaya konamayan matematiksel doğruların sezgiye açık çağrıdan başka bir şeye dayanmadıklarının en açık göstergesidir.

Hofstadter ise meseleye daha geniş bir perspektifte bakmış ve sayıların yapıların inşası için bir aracı olduğunu belirterek Gödel’in çalışmasını bir inşa problemine dönüştürmüştür. Ona göre Russell’ın dizgesini korumaya çalıştığı şey tikel paradokslar değil ancak kendine-gönderme özelliğidir.

Russel ve Whitead’ın çalışması ona göre hiyerarşik, biçimsel ve önermelerin teorem olup olmadıkları konusunda kesin sonuçlar veren bir karar verme yordamının bulunduğu mükemmel bir yapıdır.

Ancak Gödel’in gösterdiği gibi bu yapının içinde ifade edilen üst-matematiksel önermelerin biçimsel çevirisi yapıyı kendine-göndergeli bir hale sokmakta ve bu da Russell’ın girişimini başarısızlığa uğratmaktadır. Russell’ın yapıyı matematik ve üst-matematik olarak birbirinden izole etme ve kendine-göndergeli olmayı dizge dışında bırakarak tüm doğru aritmetiksel tamdeyimleri biçimsel dizgenin bir teoremi olarak türetme ideali başarısız olmuştur.

Hofstadter’e göre bunun nedeni Gödel’in haritalama fikrini kullanarak üst-matematiği biçimsel dizge içinde kodlayarak PM’yi mantıkçıların ideallerinin tersine dolanık bir hiyerarşiye veya kendi deyişiyle garip bir döngüye hapsetmesidir.

O biçimsel olarak karar verilemeyen bir önermeyi üst-matematiksel uslamlamayla doğrulayabilmemizin nedenini, beynimizin gerçekte bir mantık motoru değil ancak bir analoji motoru olmasına bağlamaktadır.

Gerçekten de haritalama fikrinin kendisi ve Gödel’in bunu PM için kullanma yöntemi bu yaklaşımı anlamlı kılmaktadır. Ancak yine de biz bu sonuçtan beynimizin biçimsel kuralları izlemediği sonucunu çıkartamayız. Aslında burada sorun biçimsel olmayı; mekanik, mantıksal olmakla, adım adım kanıtlamayla eşdeğer görmektir.

Örneğin bir satranç programını ele alalım. Bir satranç programında yapılabilecek hamle sayısı çok fazladır ve bir makine adım adım hesaplamayla oyun için en iyi hamleyi yapmaya çalıştığında bu girişim kombinatorik patlamayla sonuçlanır ve makine hamle yapamaz çünkü olası hamle sayısı çok büyüktür.

Bu sorunun nedeni tüm parçaları tek tek ele almaya çalışıp bütünü görmemektir. Ancak satranç oynayan bir bilgisayar olarak geliştirilen Deep Blue dünya satranç şampiyonu Kasparov’la ilk maçta berabere kalmış daha sonra ise 1997’de Kasparaov’u yenmiştir. Bu başarının nedeni tek tek tüm hamlelerin hesaplanmasından ziyade bir arama tekniği olarak buluşsal (sezgisel) arama tekniğini kullanmaktır.

Baştaki mekanik kör aramada hiçbir rehberimiz olmadan tüm hamlelere eşit bir değer verirken, buluşsal arama yöntemi problemin çözümü için ipuçlarını değerlendirmekte ve bizim için sağduyuya benzeyen kuralları çözüm sırasında veri kümesini farklı kalitedeki hamleler olarak bölerek çözümü kombinatoryal bir patlama olmaksızın bulabilmektedir. Dolayısıyla Hofstadter’ın gelecekte ortaya çıkacağına inanmadığı ( bir satranç programının insan oyuncuyu yenmesi) bunun gibi daha bir çok fonksiyonun makine için elde edilebilir olduğu anlamlı bir beklentidir.

Hofstadter makinelerin biçimsel olarak türetebileceği doğruluklar olduğu gibi bizim için de geçerli olan ve ne bizim ne de makinenin biçimsel olarak türetemediği doğruluklar olduğunu ekler ancak biz makinelerden üst bir uslamlamayla ayrılmaktayızdır.

Çünkü her ne kadar bu biçimsel olmayan doğruluk dizge içinden türetilemiyorsa da biz onu dizgenin dışına çıkarak anlayabilmekteyiz. Makine içinse böylesi bir durum söz konusu değildir der Hofstadter. Ancak daha önce de söylediğimiz gibi bir yapıyı veya fonksiyonun yalnızca tek bir formülasyonu ( satranç örneğinde bu, adım adım arama yerine buluşsal aramayı tercih etmektir) yoktur ve yapıyı yansıtan ve başka bir alanda örneğin beyin fonksiyonlarını makinelerde haritalamanın da birden fazla yolu vardır ve hala da yenileri oluşturulmaktadır.

Ve Gödel’in aksiyomatik olarak elde edilemeyen bir doğruyu üst-matematiksel kanallarla elde edilebilmesi ilahi bir dokonuşun işareti değil yalnızca bizim beyin için henüz açıklayamadığımız ancak bilimsel bilgimizin gelişimine bağlı olarak daha önce olduğu gibi ele avuca sığabilecek, kontrol edebileceğimiz ve hatta ilgili fonksiyonu makine yoluyla da elde edebileceğimiz bir sorunun var olduğunu düşündürmelidir ve bu gizemi onurlandırmak yerine çözümü için girişimde bulunulmalıdır.

Son olarak Barrow (2002) ise Gödel’in çalışmasını yalnızca matematik ve mantıkla sınırlamayıp bu çalışmanın fizikteki sonuçlarına da dikkat çekmiştir. Matematiğin mantıksal temelinin eksiksiz olmayışının fizikte saptanabilir-olmama, izlenebilir-olmama özelliğine sahip az sayıdaki bireysel problemlerin çözümü için sorun oluştursa da, fiziğin problemlerinin çoğunun bununla ilişkili olmadığını ve matematiksel mantıktaki özsel sınırlamaların fizik için de geçerli olabileceği kaygısının anlamlı bir kaygı olmadığını belirtmiştir.

Gödel’in çalışmasını bütüncül programları eleştirirken bir dayanak olarak kullananlar olmuştur ve Barrow bu yaklaşıma itiraz etmektedir. Başka bir alandaki bütüncül bir programın olanaklılığını sorgularken hedef programın nasıl yapılandığı önemli bir sorudur çünkü biz arzularımıza göre Gödel’in çalışmasını tüm bütüncül programlara uyarlayamayız. Yalnızca Gödel’in işaret ettiği biçimsel ve doğal sayılar aritmetiğini de kapsayan tümdengelimli bir dizge ile kendi hedefimiz olan program arasında bir eşbiçimlilik bulabilirsek bu mümkün olabilir ancak diğer koşullarda bu, Gödel’in çalışmasını uygunsuz bir biçimde kullanmaktan fazlası olmayacaktır

Bu sonuçlar ışığında yapmamız gereken matematiksel mantığın nihai kuramını aramak yerine— ki bunun mümkün olmadığı gösterilmişti— sonsuz bir teoremler denizi olan matematiği, farklı yapıdaki problemlerin çözümü için farklı matematiksel çözüm ve kanıtlama yöntemleri kullanmaya yönelten modüler bir yaklaşımla ele almaktır. Matematiğin özü ve temelini tek bir programa sıkıştırmak , tüm matematiği zamanının ruhuna göre başka bir şeye (simgesel mantığa) indirgemek tüm sorunlarımızı çözmemiş ve belki hiçbir zaman da çözemeyecektir. Penrose bu konuda şunları söylüyor:

Ne olursa olsun, bana öyle geliyor ki, Gödel’in teoreminin açıkça sergilediği sonuç, matematiksel doğruluğun herhangi bir formalist çerçeve içerisine sıkıştırılamayacağıdır. Matematiksel doğruluk, salt formalizmin çok ötesinde bir şeydir. (Penrose, 1998, s. 133)

Penrose formalist programın çöküşünü abartmışsa da yine de söyledikleri yüksek beklentileri olan bir program için geçerlidir. Ancak matematiksel buluşu tanrısal veya ele avuca gelmez ve hiçbir mekanizma tarafından ne denetlenen ne de erişilebilen bir kaynağa atfetmek de anlamlı değildir. Bu yaklaşım matematiğin temelleriyle ilgili sorumuzu yanıtlamadığı gibi yeni çözümsüzlükler de meydana getirmektedir.

Aritmetiğin ve genel olarak matematiğin tüm doğru önermelerini aynı kümenin üyesi olarak görmek yanlıştır. Gerçekte bunların hem kendilerini yaratan organizasyon biçimi hem de işlevi farklıdır. Doğada bildirimleri olan matematiksel önermeler olduğu gibi hiçbir denetlenebilir bildirimi olmayan saf matematik önermeler vardır. Aynı şekilde biçimsel olarak doğruluğu kanıtlanamayacak önermeler olduğu gibi bu şekilde kanıtlanabilecek birçok önerme de vardır.

Matematiksel bir problemin çözüm yöntemi (önermenin türetilme şekli) problemin mimarisine uygun olmalıdır ki PM’de gördüğümüz gibi aslında biçimsel olmayan bir önerme biçimsel bir yolla türetilmeye çalışılıp karar verme problemine yol açmasın.

Gerçekte bir matematik organizasyonun karmaşıklık düzeyine göre veya birimlerin yapı içerisindeki işlevsel pozisyonuna göre birden fazla formülasyonun olması mümkündür. Matematikte bir teoremin birden fazla kanıtı olması gibi, zihnin kanıtı inşa etme biçiminin de birden fazla yolu olabileceği düşüncesi akla yatkındır.

Einstein 1905’teki makalesinde enerji ve madde hakkındaki, 1916’daki makalesinde de kütleçekim, uzay ve zaman hakkındaki Newton’dan kalma fikirlerimizi değiştirmişti. Aynı düşünsel devrimi matematiksel mantıkta aşina olduğumuz ve bağlandığımız biçimsel program için Gödel yapmıştır.

Şimdilerde hala birçok projemizde Newton’un fikirlerini pratik olarak kullansak da uzay ve zaman hakkındaki yaklaşımı konusunda Einstein’in yaklaşımının teorik olarak gerçeğe daha yakın ve daha geniş bir olgu sınıfı için daha uygun olduğunu bildiğimiz gibi, matematiğin bazı doğru önermelerini kanıtlarken hala mantıksal yolları pratik olarak kullansak da tüm matematiğin yine de bu biçimsel yapıdan ibaret olmadığını anlamamız bize Gödel’in bıraktığı en büyük düşünsel mirastır.

Ekler


Ek-1



“Teorem: Programların durma/durmama özelliklerine ilişkin kanıtların yapılabildiği ve kanıtlanan tüm önermelerin doğru olduğu her biçimsel sistemde, kanıtlanamayan kimi doğru önermeler bulunur. Üstelik bu önermelerden birini açıkça yazabiliriz de.

Kanıt: Kanıtlanamaz doğru önermeler içerdiğini kanıtlayacağımız biçimsel sisteme S sistemi diyelim. S’nin belitlerine ve çıkarım kurallarına dayanarak K kağıdına yazdığımız herhangi bir dizginin S’ye göre düzgün bir kanıt olup olmadığını kontrol eden programı yazıp bir kenarda hazır tutalım. Bu programı aşağıda yazacağımız daha büyük bir programın bir parçası olarak önemli bir iş için kullanacağız.

S sisteminde şu önermenin biçimsel bir kanıtı yoktur :

“1. B kağıdına

2. B kağıdında yazan metni A kağıdına kopyala, A’da bu metnin öncesine ve sonrasına tırnak işaretleri koy.

3. ”B kağıdına” dizgesini, A’nın içeriğini ve “dizgesini yaz” dizgesini bu sırayla B’deki metnin öncesine yaz.

4. B’dek, metnin öncesine ve sonrasına tırnak işaretleri koy, ardına da “programı durmaz” dizgesini yaz.

5. K kağıdını sil.

6. K’deki metnin B’deki önermenin S’ye göre kanıtı olup olmadığını kontrol et, eğer öyleyse DUR.

7. K kağıdındaki dizgeyi sil, yerine sıralamada ondan bir sonra gelen dizgeyi yaz.

8. 6 numaralı komuta dön.”

Dizgesini yaz.

2. B kağıdında yazan metni A kağıdına kopyala, A’da bu metnin öncesine ve sonrasına tırnak işaretleri koy.

3. “1. B kağıdına” dizgesini, A’nın içeriğini ve “dizgesini yaz” dizgesini bu sırayla B’deki metnin öncesine yaz.

4. B’deki metnin öncesine ve sonrasına tırnak işaretleri koy, ardına da “programı durmaz.” Dizgesini yaz.

5. K kağıdını sil.

6. K’deki metnin B’deki önermenin S’ye göre kanıtı olup olmadığını kontrol et, eğer öyleyse DUR.

7. K kağıdındaki dizgeyi sil, sıralamada ondan bir sonra gelen dizgeyi yaz.

8. 6 numaralı komuta dön.” programı durmaz.

Görüldüğü gibi önermemizde tırnak içinde metni verilen bir programın durmayacağı savlanmaktadır. Komutları sırasıyla çalıştırıp programın davranışını anlamaya çalışalım.

İlk komut, B kağıdına epeyce uzun bir dizgeyi yazmamızı söylüyor. Bunu yapalım. Böylece B kağıdında

2. B kağıdında yazan metni A kağıdına kopyala, A’da bu metnin öncesine ve sonrasına tırnak işaretleri koy.

3. “ B kağıdına” dizgesini, A’nın içeriğini ve “dizgesini yaz” dizgesini bu sırayla B’deki metnin öncesine yaz.

4. B’deki metnin öncesine ve sonrasına tırnak işaretleri koy, ardına da “programı durmaz.” Dizgesini yaz.

5. K kağıdını sil.

6. K’deki metnin B’deki önermenin S’ye göre kanıtı olup olmadığını kontrol et, eğer öyleyse DUR.

7. K kağıdındaki dizgeyi sil, sıralamada ondan bir sonra gelen dizgeyi yaz.

8. 6 numaralı komuta dön.”

Dizgesini elde etmiş olduk.

Şimdi programımızın ikinci komutunu uygulayalım, bu durumda A kağıdına da aynı dizge yazılmış oldu, ama tırnak işaretleri içinde. Üçüncü komutu uyguladığımızda B’de oluşan dizge size bir şey hatırlatıyor mu ? Evet, bu bizim programımızın ta kendisi! Yani programımızın ilk üç komutunun işlevi, programın kendisinin bir kopyasını B kağıdına yazmakmış.

Şimdi geldik dördüncü komuta. Bu komut uygulandığında B’de oluşan cümle de size tanıdık geliyor, değil mi ? Yanılmadınız , bu cümle de S sisteminde kanıtı olmadığını iddia ettiğimiz önermenin ta kendisi.

Programın geri kalanında, görüldüğü gibi bir döngüye giriyoruz. Bu döngünün her dönüşünde K kağıdında yeni bir dizge bulunacak. Sıralamaya dikkat edeceğimiz için her tür harf, boşluk, noktalama işareti, sembol vs. karışımı eninde sonunda bu döngünün bir dönüşünde K’da yazılı olacak.

Yani eğer B’de yazılı olan önermenin S sisteminde bir kanıtı varsa sonlu sayıda dönüş sonra o kanıt K’da yazılı olacak ve o dönüşte kontrol başarıyla sonuçlandığından program duracak. Yok eğer S’de bu önermenin kanıtı yok ise bu döngüden asla çıkamayacağımızdan program hiç durmayacak.

Sözün kısası, bu program, sadece ve sadece kendisinin durmayacağını söyleyen önerme S’de kanıtlanabiliyorsa duracak. Şimdi düşünelim: Acaba programımız duracak mı durmayacak mı?

Eğer durursa, o zaman S sisteminde (bu programın durmayacağını söyleyen) yanlış bir önerme kanıtlanabiliyor demektir. Bu da teoremimizin varsayımına aykırı olacaktır. Demek ki programımız durmayacak; o zaman da (bu programın durmayacağını söyleyen) uzun cümlemizin doğru olduğunu ve fakat bunun S’de kanıtlanamayacağı sonucunu çıkarmak zorundayız. Kanıt bitmiştir.”


Dipnotlar


[1] Russell’ın daha sonra geliştirdiği “tipler” kuramı bu paradoksu aşmayı sağlamışsa da Epimenides’in paradoksu hala çözülememiş bir şekilde durmaktadır. Zaten Gödel de Epimenides’in paradoksunu matematiğin terimlerine çevirerek PM de onarılamaz bir delik açmayı başarmıştır. Ancak Epimenides’in paradoksu ne doğru ne yanlış olduğu için paradoks yaratırken, Gödel’in önermesi G PM içinde kanıtlanamadığı halde doğrudur.

[2] Russell ve Whitead her ne kadar doğruluk ve anlamı , biçim ve anlamı birbirinden ayırmaya çalıştıysalar da bunun olanaklı olmadığı görülmüştür.

[3] Bir simgenin anlamı; PM içindeki doğru bir önermenin doğru bir yorumunu vermesine bağlıdır. Eğer kullanılan simge ilgili önermeyle eşleştiğinde yanlış bir önermeyi türetmemize neden oluyorsa, simgenin bu yorumunun yanlış olduğunu söylemeliyiz. Eğer PM’nin doğru önermeleriyle, bunları sağlayan simgeler arasında bir eşbiçimlilik varsa biz bundan böyle bu ilişkiye “karşılıklılık” , bunun sonucunda ortaya çıkan yoruma ise anlam diyeceğiz.

[4] Bu kanıtlama gerçekte çok daha uzun ve ayrıntılıdır ancak çalışmamızın kapsamı sınırlı tutulduğu için , daha teknik bir inceleme için Nagel ve Newman’ın Gödel Kanıtlaması eseri, hem teknik ayrıntılarıyla hem de anlatım tarzıyla kaliteli bir eser olarak Hofstadter’ın Gödel,Escher,Bach eseri kullanılabilir. Ayrıca Cem Say tarafından bu kanıtlamanın yapay zeka aracılığıyla inşa edilmiş bir versiyonu için Bkz: Ek-1

[5] Hofstadter Russell’ın dizgesini tehdit eden paradokslara yaklaşımını şöyle özetlemişti: “Fransızlar için düşman Almanya’ydı; Russell içinse kendine gönderme.” (Hofstadter, 2011, s. 12)

Başvurulan Kaynaklar



Nagel Ernest, Newman R. James, (2007) Gödel Kanıtlaması (B. Gözkan, Çev.) İstanbul, Boğaziçi Üniversitesi Yayınevi

Hofstadter R. Douglas, (2011) Gödel, Escher, Bach: bir Ebedi Gökçe Belik (E. Akça, H. Koyukan, Çev.) İstanbul, Pinhan Yayıncılık

Say Cem, (2012) Bilgisayar ve Beyin —Yapay Zeka ve Gödel Teoremi— (s.254-265), İstanbul, Pan Yayıncılık

Barrow D. John,(2002) Olanaksızlık (N.Arık,Çev.) İstanbul, Sabancı Üniversitesi Yayınları

Penrose Roger,(1998) Bilgisayar ve Zeka (Tekin Dereli, Çev.) Ankara, Tübitak Yayınları